Base de Frenet

Le vecteur vitesse a permis d'introduire le premier vecteur ut, tangent à la trajectoire

Nous allons montrer comment trouver un le deuxième vecteur composant la base de frenet

On sait que \vec{u_{T}} est un vecteur unitaire \Leftrightarrow \frac{d | | \vec{u_{T}} | |^{2}}{d l} = \frac{d (1)}{d l} = 0

(l représente l'abscisse curviligne)

Ainsi, en utilisant cette relation, du vecteur unitaire ut (mis au carré pour la démonstration, pas de raison particulière). On peut écrire :

\frac{d}{d l} (\vec{u_{T}} . \vec{u_{T}}) = 0 \Leftrightarrow \frac{d \vec{u_{T}}}{d l} . \vec{u_{T}} + \vec{u_{T}} . \frac{d \vec{u_{T}}}{d l} = 0 \Leftrightarrow 2 (\frac{d \vec{u_{T}}}{d l} . \vec{u_{T}}) = 0

On peut donc écrire \frac{d \vec{u_{T}}}{d l} . \vec{u_{T}} = 0 \Leftrightarrow ce qui équivaut à dire...

Que le vecteur uN est orthogonal à uT (car uN est colinéaire à la dérivée du vecteur uT par rapport au rayon de courbure)

On définit uN comme le vecteur unitaire normal à la courbe, dirigé vers l'intérieur

Et on admet que : \frac{d \vec{u_{T}}}{d l} = \frac{\vec{u_{N}}}{R_{C}} où R_{C} est appelé rayon de courbure au point M.

Rc représente le rayon du cercle par lequel on peut approximer la courbe localement en M.